Anillo (matemáticas)

Anillo (matemática)

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En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto y dos operaciones que están relacionadas entre sí mediante la propiedad distributiva, de manera que generalizan las nociones de número, especialmente en el sentido de su "operabilidad".

Tabla de contenidos


[editar] Definición

Sea A un conjunto, y sean + y \cdot dos operaciones binarias. Se dirá que la terna (A,+,\cdot) es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

(A, + ) es un grupo abeliano, esto es, se cumple que:

  1. \forall a, b \in A, a + b \in A (clausura).
  2. \forall a,b \in A, a + b = b + a (conmutatividad).
  3. \forall a, b, c \in A, a + (b + c) = (a + b) + c (asociatividad).
  4. \exists 0 \in A, tal que \forall a \in A, 0 + a = a + 0 = a (elemento neutro).
  5. \forall a \in A, \exists b \in A tal que a + b = b + a = 0. Al elemento b se le llama opuesto de a, y se le denota usualmente por − a, de modo que la propiedad anterior se anota también como a + ( − a) = ( − a) + a = 0 (elemento inverso).

(A, * ) cumple que:

  1. \forall a, b, c \in A, a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c (asociatividad).
  2. \forall a, b, c \in A, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c y (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a (propiedad distributiva de \cdot respecto de + ).

(A,+)\,\! y (A,\cdot) se les denomina la suma y el producto, respectivamente, del anillo A\,\!. Asimismo, al neutro de la suma suele denominársele cero del anillo.

  • Leyes de simplificación: Si a \neq 0, se dice que se verifican las leyes de simplificación: si a \cdot b = a \cdot c implica que b=c\,\!; de la misma forma, b \cdot a = c \cdot a implica que b = c\,\!.

[editar] Elementos destacados en un anillo

  • Elemento cero: denotado por 0. Es el neutro para la suma.
  • Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple 1 \cdot a = a \cdot 1 = a para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.

El elemento cero y el elemento unitario sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial ( {0} ), debido a la propiedad distributiva.

  • Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de a si b \cdot a=1. Así mismo, c es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de a si a \cdot c=1. Un elemento a − 1 se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de a si a − 1 es inverso por la izquierda de a e inverso por la derecha de a, es decir, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1.

Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).

  • Elemento inversible, o elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
  • Divisor del cero: un elemento a \neq 0 es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
  • Elemento regular: un elemento a \neq 0 de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.
  • Elemento idempotente: es cualquier elemento e del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que e \cdot e=e (esto se suele escribir como e2 = e). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.
  • Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento x del anillo para el que existe un número natural n de forma que xn = 0 (donde xn se define por recurrencia: x0 = 1, x^n = x \cdot x^{n-1}). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

[editar] Algunos tipos importantes de anillos

  • Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano).
  • Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
  • Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.
  • Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
  • Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).
  • Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.
  • Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

[editar] Subconjuntos notables

[editar] Subanillos e ideales

Un subanillo de un anillo (A,+,·) es un subconjunto S \subset R que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si a,b \in S, entonces a+b \in S y a\cdot b \in S. Si 1 \in R (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que 1 \in S. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de R, y sí lo será si R no es unitario.

Un subanillo S es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si R \neq S.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, (S, + ) es un subgrupo de (R, + ).

Pero en la Teoría de Anillos hay un tipo de subconjunto más notable aun que el de subanillo, el de ideal.

Un subconjunto I \subset R es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si (I, + ) es subgrupo de (R, + ) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que r \cdot x \in I.

Un subconjunto I \subset R es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si (I, + ) es subgrupo de (R, + ) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que x \cdot r \in I.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero (del anillo), o simplemente que es un ideal (del anillo).

La propiedad conmutativa nos asegura que en todo anillo conmutativo todo ideal por la izquierda es ideal por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal I (por la izquierda, por la derecha o bilátero) se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, I \neq R.

[editar] Unidades

Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario (R,+,\cdot,1_R) se le llama conjunto de unidades (del anillo), y se le denota por U(R).

Si I es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario U(R), entonces I \cap U(R) = \varnothing, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

[editar] Centro

El centro de un anillo (R,+,\cdot) (denotado por Z(R)) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , s \in R \}. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que 0 \in Z(R). Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., R = Z(R).

[editar] Homomorfismos de anillos.

Véase el artículo principal en homomorfismo de anillos.

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