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Hipótesis del continuo
Hipótesis del continuo
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El continuo c o continuum es el cardinal de 
(conjunto de los números reales). Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c.
La hipótesis del continuo (HC) viene a decir que no existe ningún conjunto A tal que 
, donde 
es el cardinal de los números naturales (alef-0).
[editar] La HC como axioma independiente
La hipótesis del continuo es un problema indecidible en el sistema axiomático ZFC (Zermelo-Fraenkel con Axioma de elección). Esto se demostró complementando ZFC por una parte con la hipótesis del continuo (Kurt Gödel, 1938) y por otra parte con su contrario (Paul Cohen, 1963), obteniendo sistemas axiomáticos consistentes en ambos casos.
La prueba de Gödel implica que puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde HC sea una afirmación cierta. Por otro lado la prueba de Paul Cohen implica que puede construirse otra teoría de conjuntos donde HC sea una afirmación falsa. La situación es análoga a lo que sucede en geometría donde pueden construirse geometrías euclídeas donde el postulado V de Euclides es cierto y geometrías no euclídeas donde dicho postulado es falso.
[editar] Hipótesis del continuo generalizada
El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:
Lo cual abre la posibilidad a que existan cardinales transfinitos mayores que 
. La hipótesis del continuo generalizada puede formularse diciendo que:
- Si un conjunto A tiene un cardinal dado por
entonces el conjunto de partes de A tiene un cardinal dado por 
.
Este axioma puede expresarse más formalmente:
