Límite matemático

Límite matemático

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En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Tabla de contenidos

[editar] Límite de una sucesión

Artículo principal: Límite de una sucesión

[editar] Definición

La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x va a \infty. Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), y escribimos

\lim_{n\to\infty}a_n = a

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Más precisamente:

a_n \to a \Leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon

[editar] Límite de una función

Artículo principal: Límite de una función

[editar] Introducción

Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos

\lim_{x\to p} \, \, f(x) = L

si se puede encontrar x \, suficientemente cerca de p \, tal que f(x) \, es tan que decimos que:

f(x) \to L \Longleftrightarrow\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

[editar] Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

[\infty refiere al límite a infinito y 0 al límite a 0 (no al número 0)]

\infty - \infty
\frac{\infty}{\infty}
\infty \cdot 0
\frac{0}{0}
\infty ^0
1^\infty
0^0 \,

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes: \lim_{t\rightarrow 0}t/t^2=\infty, \lim_{t\rightarrow 0}t/t=1, \lim_{t\rightarrow 0}t^2/t=0,

[editar] Propiedades de los límites

  1. \lim_{x \to p} x = \, p \,
  2. \lim_{x \to p} kf(x) =\, k\lim_{x \to p} f(x)\,
  3. \lim_{x \to p} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x)\,
  4. \lim_{x \to p} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x)\,
  5. \lim_{x \to p} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)\,
  6. \lim_{x \to p} (f(x)/g(x)) =\, {\lim_{x \to p} f(x) / \lim_{x \to p} g(x)}\,\ si\ g(x) \ne 0
  7. {\lim_{x \to 0} (1+x)^{(1/x)}} =\, e
  8. {\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x } =\, e
  9. {\lim_{x \to \infty} (x/2)(Cos(360/x))(Sen (360/x))} =\,{pi}
  10. {\lim_{x \to 0} (senx/x)} =\, 1 (al igual que su recíproca)
  11. {\lim_{x \to 0} (tanx/x)} =\, 1 (al igual que su recíproca)
  12. {\lim_{x \to 0} (senx/tanx)} =\, 1 (al igual que su recíproca)
  13. {\lim_{x \to p} (f(x) \cdot g(x))} =\, 0 <=> f(x) acotada y g(x) infinitésimo
  14. {\lim_{x \to 0} \frac {1-cos(x)}{x} } =\, 0

[editar] Enlaces externos

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