Principio de buena ordenación

Principio de buena ordenación

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Esta propiedad que puede deducirse del principio de inducción es de particular importancia en matemática ya que se utiliza como base para la demostración por inducción.

  • Principio de Buena Ordenación
Todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento (un número entero) que es el menor de todos.

Nótese que esta propiedad es válida sólo para conjuntos cuyos elementos son números enteros positivos. No es cierta para cualquier conjunto, ya que si consideramos los enteros negativos, por ejemplo, no existe un menor elemento.

[editar] Demostración del Principio de Buena Ordenación

Como dijimos anteriormente, este principio se puede deducir a partir del principio de inducción. Usaremos entonces, este principio para demostrar el principio de buena ordenación.

Definamos un conjunto \mathit{T} \,\! tal que \mathit{T} \,\! es no vacío y consta sólo de enteros positivos. Queremos demostrar existe un t_0\in T tal que para para todo t\in T, se tiene que t_0\leq t.

Supongamos que no existe tal entero, y lleguemos a una contradicción. Es claro que 1 no puede pertenecer a \mathit{T} \,\!, ya que de lo contrario éste sería su menor elemento. Designemos por \mathit{S} \,\! al conjunto de todos los n tal que n<t\,, para todo \mathit{t} \,\! de \mathit{T} \,\!. Entonces 1 pertenece a \mathit{S} \,\!, ya que 1<t\,. Sea \mathit{k} \,\! un entero positivo de \mathit{S} \,\!. Entonces k<t\, para todo \mathit{t} \,\! de \mathit{T} \,\!. Demostraremos que \mathit{k+1} \,\! también pertenece a \mathit{S} \,\!. De no ser así, entonces para un cierto \mathit{t_1} \,\! de \mathit{T} \,\! tendríamos que t_1\leq k+1. Puesto que \mathit{T} \,\! no tiene menor elemento, existe un \mathit{t_2} \,\! en \mathit{T} \,\! tal que t_2<t_1\,, por lo tanto t_2<k+1\,. Esto implica que t_2\leq k, en contradicción con el hecho de que k<t\, para todo \mathit{t} \,\! de \mathit{T} \,\!. Por lo tanto podemos decir que \mathit{k+1} \,\! pertenece a \mathit{S} \,\!. Luego, por el principio de inducción, concluímos que \mathit{S} \,\! contiene a todos los enteros positivos. Puesto que \mathit{T} \,\! es no vacío, existe un entero positivo \mathit{t} \,\! en \mathit{T} \,\!. Pero este \mathit{t} \,\! debe pertenecer a \mathit{S} \,\! ya que \mathit{S} \,\! los contiene a todos. Tenemos entonces que t<t\,, lo cual es una contradicción. Así entonces, nuestra hipótesis de que \mathit{T} \,\! no tiene un menor elemento es falsa. Luego \mathit{T} \,\! posee un menor elemento.

Nótese que esto también demuestra que el principio de buena ordenación es una consecuencia del principio de inducción.

El contenido de esta página (o parte de ella) fue extraído de wikipedia y puede redistribuirse libremente bajo la licencia de documentación libre GNU